С каждым годом вокруг Единого государственного экзамена разгорается всё больше споров. Кто-то уверяет, что задания ЕГЭ становятся чрезмерно сложными, а кто-то с оптимизмом говорит о прекрасной подготовке современных школьников. Успех на экзамене во многом зависит от грамотной подготовки и веры в свои силы! Многие взрослые удивляются: легко ли они сами справились бы с заданиями, которые так пугают нынешних выпускников?
Попробуйте решить задачу из ЕГЭ вместе с нами!
Давайте вместе погрузимся в одну из задач, которая достается ребятам на экзамене. Представьте, что вы на месте выпускника ЕГЭ. Перед вами — математическое уравнение с параметром. Нужно найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет ровно два различных корня. Готовы попробовать свои силы? А чтобы было немного проще, у вас есть, как и на самом экзамене, несколько вариантов ответа.
Вот сама задача: необходимо определить все параметры а, при которых следующее уравнение имеет ровно два различных корня. Внизу страницы вы найдете анализ и пошаговое решение, но сначала попробуйте справиться самостоятельно!
Решаем уравнение шаг за шагом
Начнем разбор с того, что заметим: х не равен нулю (иначе деление на ноль невозможно). Выполним стандартную замену: пусть t = x — 9/x. Тогда исходное уравнение перепишется так:
a t² — 2t — 49a + 18 = 0
Рассмотрим подробнее нашу подстановку. Если x ≠ 0, уравнение можно домножить на x, чтобы избавиться от дробей:
x² — 9 = t x
x² — t x — 9 = 0
Теперь определим, при каких t это уравнение имеет решения по x. Вычислим дискриминант:
D = t² + 36 > 0
Значит, при любом значении t решение обязательно существует: уравнение относительно x всегда имеет два решения. Теперь задача сводится к тому, чтобы квадратное уравнение относительно t, полученное после подстановки, имело ровно одно решение (чтобы общее число корней было два).
Нахождение значений параметра a
Разберем два случая:
- Первый случай – a = 0.
Подставляем: -2t + 18 = 0, откуда t = 9. У нас есть только одно значение t, и, как показано выше, каждое t даёт два значения x, то есть общее число корней равно двум. Следовательно, a = 0 является подходящим значением. - Второй случай – a ≠ 0.
Уравнение a t² — 2t — 49a + 18 = 0 становится квадратным. Для того чтобы оно имело ровно один корень, его дискриминант должен быть равен нулю:
D = (-2)² — 4a(-49a + 18) = 4 — 4a(18 — 49a) = 0.
Упростим:
1 — a(18 — 49a) = 0
49a² — 18a + 1 = 0
Таким образом, решая это квадратное уравнение относительно a, получим еще два подходящих значения.
Таким образом, у исходного уравнения получится ровно два различных корня при:
- a = 0
- и двух корнях уравнения 49a² — 18a + 1 = 0
Вы блестяще справились с задачей! Если вдруг где-то возникли трудности — не беда, ведь каждая подобная задача помогает открыть новые горизонты в мире математики.
Задания ЕГЭ: испытание знаний и повод гордиться собой
Пусть многие спорят о сложности заданий ЕГЭ, на самом деле именно такие примеры оттачивают логику, гибкость мышления и дают реальную возможность проявить себя. Даже если решение кажется трудным, не стоит опускать руки — всегда можно найти верный путь шаг за шагом. Только попробуйте решать неугнданные прежде задания — и почувствуете, как уверенность в своих силах растет!
А вы решили этот пример? Какие эмоции возникли после? Некоторые ученики считают задания лёгкими, другим приходится поломать голову, но главное — стремиться к новому и не бояться сложностей. Ведь успех на ЕГЭ — это не только знания, но и умение применять их на практике.
Хотите попробовать еще больше интересных математических заданий из ЕГЭ? Посетите наш подборку упражнений — каждый тест поможет сделать ещё один шаг к успеху на экзамене! Пусть ваши знания и решительность приведут к отличным результатам!
Источник: msk1.ru
