Числа всегда были полны загадок и интересных свойств. До сих пор никто не знает, почему простые числа появляются случайно или почему они ведут себя так, будто это кристаллы. Очевидно одно — мир чисел по-настоящему странный и удивительный.
История по номерам
Когда речь заходит о раскрасках по номерам, немногие знают, что первым их придумал Леонардо да Винчи. Именно он использовал подобный метод, чтобы обучать своих учеников живописи. Позже, в 1940-х, об этом узнал Дэн Роббинс, который работал в компании Palmer Paint в Детройте.
Вдохновившись этим методом, Роббинс создал свою первую раскраску по номерам и показал начальнику. Тот не был в восторге, но всё же посоветовал сделать что-то, что люди захотят рисовать. В результате появились наборы с пейзажами, лошадьми, котятами и щенками. Эта идея быстро стала настоящим хитом, и в 1955 году продажи достигли рекордных 20 миллионов долларов.
Однако спустя несколько лет рынок наводнили подделки, и прибыль резко упала. В итоге компания Palmer Paint была продана и сейчас выпускает только два набора: один с изображением Тайной вечери, а второй посвящён событиям 11 сентября. Спустя годы работу Роббинса признал даже Смитсоновский институт — хотя в начале критики считали его наборы «не настоящим искусством». Роббинс умер в 2019 году в возрасте 93 лет.
Пчёлы умеют различать числа
В 2009 году исследователи обнаружили удивительную способность у пчёл. Эти насекомые могли отличить две, три и четыре точки, но с большими числами у них возникали трудности.
Пчёл запускали в специальные Y-образные коробки. Их учили, что коробки с определённым количеством точек на входе содержат угощение. Когда пчела оказывалась на развилке, она видела два варианта: на одном пути было столько же точек, сколько на входе, а на другом — другое количество.
Если пчела выбирала путь с нужным числом точек, то получала сахарную воду. Около 80% пчёл правильно определяли, где две или три точки. С тремя и четырьмя точками успех был у 70% пчёл.
Учёные считают, что пчёлы не умеют считать в привычном смысле. Они интуитивно распознают малые количества — примерно так же, как человек сразу видит, что на полке стоит три бутылки, даже не считая их.
Эпические простые числа
Простое число — это целое число больше единицы, которое делится только на себя и на единицу без остатка. Например, 2, 3, 5 и 7 — простые числа.
В 2017 году был найден на тот момент самый большой простой число. Оно получило название M77232917 и состояло из 23 249 425 цифр. Этот рекорд побил предыдущий почти на миллион цифр.
Чтобы представить себе его размер, можно попробовать записывать по тысяче цифр в день. На это ушло бы более 60 лет! К счастью, его сокращённая запись выглядит как 2 в степени 77 232 917 минус 1.
Это число — редкое так называемое простое Мерсенна, которое на единицу меньше степени двойки. Именно поиски простых Мерсенна привели к обнаружению этого числа. Над проектом работали учёные и энтузиасты по всему миру в рамках глобальной инициативы GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search).
После 14 лет поиска это число нашёл инженер Джонатан Пейс. Но его рекорд продержался недолго: в декабре 2018 года Патрик Ларош нашёл ещё большее простое Мерсенна — M82589933, то есть 2 в степени 82 589 933 минус 1.
Дискалькулия
Многие даже не слышали о таком нарушении, как дискалькулия. Это своеобразная «дислексия для математики». Людям с этим расстройством сложно совершать даже простейшие вычисления. Например, сравнить 7 и 6, посчитать сдачу с 10 долларов за покупку на 5,50 или понять счёт в спортивной игре.
Эти трудности совсем не говорят о глупости человека. Исследования показывают, что люди с дискалькулией умственно развиты и нормальны. Однако от расстройства страдает до 7,5% населения, и оно сильно осложняет повседневную жизнь. Поэтому важно понимать дискалькулию, чтобы находить подходящие способы поддержки и лечения.
К сожалению, точные причины возникновения этого нарушения до сих пор неизвестны. Понятно лишь то, что у людей с дискалькулией области мозга, отвечающие за математику, работают менее активно и слабо связаны с другими зонами. Почему это происходит — учёные ещё не выяснили.
Культуры без чисел
Большинство из нас не могут представить мир без чисел. Мы часто говорим: «У меня трое детей» или «Для этого рецепта нужно восемь яиц». Однако существуют культуры, в которых даже нет слов для обозначения чисел. Такие народы называют анумерик, то есть «без чисел».
Например, племена в Амазонии используют лишь слова вроде «немного» или «несколько». Когда учёные проверяли, могут ли взрослые из таких племён следить за количеством орехов в банке, оказалось, что уже при четырёх орехах они начинали теряться.
В то же время, по уровню интеллекта анумерик-люди ничем не отличаются от остальных. Интересно, что каждый человек с рождения также не знает чисел. Только общество, школа и семья учат нас понимать мир чисел.
Исследования показывают, что появление чисел — довольно позднее явление в истории человечества, которому примерно 200 тысяч лет.
Не взламываемая случайность
Генерация случайных чисел — важная задача для компьютеров. Именно на случайных данных строится шифрование секретной информации. Однако хакеры часто находят способы предсказывать такие числа и взламывать системы. На самом деле, создавать настоящую случайность очень сложно. Иногда для этого нужны самые необычные решения.
В 2018 году учёные впервые создали «невзламываемый» метод получения случайных чисел, используя законы квантовой механики. В эксперименте брали два фотона — частицы света — и генерировали с их помощью по-настоящему случайные последовательности.
Фотон может быть направлен вверх или вниз. Пока мы не измерим его положение, шансы равны, поэтому результат непредсказуем. Исследователи сделали так, чтобы пара фотонов начинала с нейтральной позиции, чтобы не было заранее определённых состояний.
Благодаря этому удалось создать алгоритм, который генерирует действительно случайные числа.
Простые числа ведут себя как кристаллы
Простые числа называют строительными блоками математики. Но некоторые их свойства сбивают людей с толку уже тысячи лет. Их кажущаяся случайность заставила учёных постоянно искать всё новые простые числа. Долгое время не удавалось найти в них никакого порядка.
Однако в 2018 году теоретические химики посмотрели на простые числа по-новому. Они представили их в виде физической структуры — как будто это атомы внутри кристалла. В кристаллах атомы располагаются по определённой схеме, что видно по тому, как рентгеновские лучи отражаются внутри них. Жидкости дают хаотичный рисунок, а кристаллы — строгий и упорядоченный.
Учёные с помощью программных моделей «облучили» миллион простых чисел воображаемыми рентгеновскими лучами. Ожидали, что числа будут вести себя, как жидкость, но результат оказался неожиданным: простые числа дали кристаллоподобный, хотя и очень необычный рисунок. Ничего подобного ранее не встречалось.
Искусственный интеллект и «чувство числа»
Компьютеры умеют вычислять числа с невероятной скоростью. Ни один человек не способен обрабатывать миллионы вычислений в секунду. Но у людей есть преимущество: мы способны понять, что перед нами три яблока или три кошки, даже не считая их.
Компьютеру для этого нужна инструкция: ему нужно сообщить, что перед ним яблоко или кошка, чтобы он мог их посчитать. Но у людей есть особое «чувство числа»: мы видим символ 3, узнаём его в трёх яблоках, трёх кошках и воспринимаем как одну и ту же абстрактную идею.
У искусственного интеллекта этого чувства долго не было. Обычно ИИ ищет числа иначе: он анализирует пиксели, линии, формы. Но в 2019 году стало известно, что у одного искусственного интеллекта неожиданно развилось подобие человеческого «чувства числа». Ему просто обучали распознавать объекты. И вдруг система поняла, что три яблока и три кошки отличаются друг от друга, но их объединяет число 3.
Учёные заметили, что отдельные участки нейросети стали «отвечать» за восприятие абстрактных чисел — как настоящие нейроны в мозге человека.
Запретить цифры?
В 2019 году исследовательская компания CivicScience провела необычный опрос. Людей спросили: стоит ли убрать из школьной программы США индийско-арабские цифры? Ответили более 3,6 тысячи человек. После обработки данных выяснилось: около половины опрошенных выступили за запрет этих цифр.
Это удивительно, ведь индийско-арабские цифры — это привычные нам 0–9. Вероятно, многие респонденты просто не знали этого. Система возникла в Индии около 400 года н.э., а затем была доработана арабскими математиками.
На Западе эти цифры используют так давно, что никто не задумывается об их происхождении. Многие считают их исконно западными. Исследователи считают, что столь резкая реакция связана с явлением «племенного мышления»: люди готовы поддерживать любые «факты», которые помогают чувствовать себя частью группы. Это часто приводит к предвзятости — не только по отношению к Ближнему Востоку, но и внутри США.
Чёрные дыры в мозгу
Когда числа становятся огромными, им дают специальные названия — например, гугол, TREE(3) или число Грэма. Последнее строится из 64 шагов вычислений, причём уже через несколько шагов результат содержит триллионы цифр.
Но даже число Грэма кажется мелочью по сравнению с TREE(3). Его размер настолько велик, что охватить его полностью невозможно. Хотя у человека есть гениальные способности к математике, наш мозг просто не приспособлен к пониманию по-настоящему больших чисел.
Учёные задались вопросом: что будет, если попытаться сохранить такое огромное число, как TREE(3), в мозге — записать его полностью в десятичной системе? Ответ оказался пугающим. Мозг способен хранить только ограниченный объём информации. Теоретически, если попытаться «втиснуть» слишком много данных, можно создать нечто вроде «чёрной дыры» прямо в голове. Самое страшное, что даже числа гораздо меньше, чем число Грэма, уже могут вызвать подобный эффект.
